結論

それぞれのコマンドを下記のように設定したら、問題なくデプロイできた。

構築コマンド

npm install && npm run build

（npm run build は next build を指す）

開始コマンド

npm run start

（npm run start は next start を指す）

失敗までの経緯

App Runner の設定値

ソースおよびデプロイの設定

• ソースコードリポジトリを利用。
  • 既存のリポジトリを指定しており、SSR、API Routes や様々なライブラリを含んでいる。
• デプロイトリガー：手動

構築設定（今回は、ここの設定が原因っぽい）

• ランタイム：Node.js 16
• 構築コマンド：npm install
• 開始コマンド：npm run build && npm run start
• ポート：3000

サービス設定

• サービス名：任意の名前
• 仮想 CPU とメモリ：1 vCPU & 2 GB
• 環境変数：いくつか設定している。

その他の設定項目は、特段変わったものはないので省略。

なんでなん？

色々な記事やチュートリアルの通りに設定して試したが、失敗続きでした。
しかし create-next-app だけしたシンプルな構成をターゲットにしてデプロイしたら、これは成功しました。
数時間悩んだ末、構築コマンドで install と build をし、開始コマンドでは start だけするようにしてみた。すると不思議なことにデプロイは成功した。
リポジトリの規模が大きめであるなら、構築コマンド内で install と build するといいのかもしれない。
結局根本原因は掴めていない…。